O ato aparentemente simples de dividir recursos – seja um bule de café mal preparado ou selecionar equipes para um jogo competitivo – muitas vezes leva a resultados injustos. Uma solução surpreendente reside numa sequência matemática estudada pela primeira vez no século XIX: a sequência Thue-Morse. Este padrão, originalmente explorado por matemáticos como Eugène Prouhet, Axel Thue e Marston Morse, fornece um método para uma alocação mais justa quando uma abordagem direta de “revezamento” não é suficiente.
O problema da seleção sequencial
Considere uma cafeteira preparada de forma irregular, com maior concentração no fundo. Despejar em duas xícaras sequencialmente faz com que a primeira xícara seja mais fraca que a segunda. Isto ilustra uma questão mais ampla: ao selecionar a partir de um conjunto classificado de itens (jogadores, recursos, etc.), o primeiro selecionador ganha uma vantagem inerente.
Num cenário de escolha de equipa, se um capitão escolher primeiro todos os jogadores, deixando o restante para o outro, surge um grave desequilíbrio na qualidade da equipa. Mesmo as escolhas alternadas não corrigem totalmente esta situação: o primeiro seleccionador assegura consistentemente os jogadores mais fortes, levando a uma distribuição distorcida de talentos. Num conjunto classificado de jogadores de 1 a 10, o primeiro time totalizará 30, enquanto o segundo apenas 25.
A solução Thue-Morse: revezando-se
A sequência Thue-Morse oferece uma solução ao introduzir um padrão aninhado de troca de turnos. Em vez de simplesmente alternar (AB, AB), emprega uma sequência de ABBA. O primeiro par segue a ordem padrão, mas o segundo a inverte. A repetição deste padrão (ABBA BAAB BAAB ABBA) garante uma distribuição mais equilibrada.
Aplicando isto ao exemplo da escolha da equipa, as pontuações finais passam a ser 27 e 28, uma melhoria significativa em relação ao desequilíbrio de 30 vs 25. Essa abordagem nivela o campo de jogo, evitando que um seletor adquira consistentemente os itens com classificação mais alta.
Aplicações e justiça no mundo real
A sequência Thue-Morse não é apenas uma curiosidade matemática; é usado em cenários do mundo real onde a justiça é fundamental. Os tie-breaks de tênis empregam uma versão simplificada (ABBA), onde os jogadores se alternam servindo dois pontos consecutivos, garantindo igual pressão. A FIFA e a UEFA até o testaram nas disputas de pênaltis, aumentando a pressão sobre o segundo arremessador de cada dupla.
Para a cafeteira irregular, a solução é elegante: despeje meia xícara na primeira, duas metades na segunda e a última metade de volta na primeira. O resultado: duas xícaras de igual força. Embora a agitação atinja o mesmo resultado, a abordagem matemática adiciona uma camada satisfatória de precisão.
A sequência Thue-Morse demonstra que a justiça nem sempre é intuitiva. Às vezes, basta um pouco de matemática do século XIX para nivelar o campo de jogo e garantir um resultado mais equitativo.
