De ogenschijnlijk eenvoudige handeling van het verdelen van middelen – of het nu gaat om een slecht gezette pot koffie of het selecteren van teams voor een competitief spel – leidt vaak tot oneerlijke uitkomsten. Een verrassende oplossing ligt in een wiskundige reeks die voor het eerst werd bestudeerd in de 19e eeuw: de Thue-Morse-reeks. Dit patroon, oorspronkelijk onderzocht door wiskundigen als Eugène Prouhet, Axel Thue en Marston Morse, biedt een methode voor een eerlijkere toewijzing wanneer een eenvoudige aanpak van ‘om beurten’ niet volstaat.
Het probleem van opeenvolgende selectie
Denk aan een pot koffie die ongelijkmatig is gezet, met een sterkere concentratie onderaan. Als u achtereenvolgens in twee kopjes giet, is het eerste kopje zwakker dan het tweede. Dit illustreert een breder probleem: bij het selecteren uit een gerangschikte reeks items (spelers, hulpbronnen, enz.) verkrijgt de eerste selector een inherent voordeel.
Als in een teamselectiescenario één aanvoerder eerst alle spelers kiest en de rest aan de ander overlaat, ontstaat er een ernstig onevenwicht in de teamkwaliteit. Zelfs wisselende keuzes corrigeren dit niet volledig: de eerste selector stelt consequent de sterkere spelers veilig, wat leidt tot een scheve verdeling van talent. In een gerangschikte reeks spelers van 1 tot 10 heeft het eerste team een totaal van 30, terwijl het tweede slechts 25 is.
De Thue-Morse-oplossing: om beurten om beurten
De Thue-Morse-reeks biedt een oplossing door een genest beurtpatroon te introduceren. In plaats van eenvoudigweg af te wisselen (AB, AB), wordt een reeks ABBA gebruikt. Het eerste paar volgt de standaardvolgorde, maar het tweede keert deze om. Het herhalen van dit patroon (ABBA BAAB BAAB ABBA) zorgt voor een evenwichtigere verdeling.
Als we dit toepassen op het voorbeeld van teamselectie, worden de eindscores 27 en 28, een aanzienlijke verbetering ten opzichte van de onevenwichtigheid van 30 versus 25. Deze aanpak zorgt voor een gelijk speelveld door te voorkomen dat één selector consequent de hoogst gerangschikte items verkrijgt.
Toepassingen in de echte wereld en eerlijkheid
De Thue-Morse-reeks is niet alleen een wiskundige curiositeit; het wordt gebruikt in realistische scenario’s waarin eerlijkheid voorop staat. Tennis tie-breaks maken gebruik van een vereenvoudigde versie (ABBA), waarbij spelers afwisselend twee opeenvolgende punten serveren, waardoor gelijke druk wordt gegarandeerd. De FIFA en de UEFA hebben het zelfs uitgeprobeerd voor strafschoppen, waardoor de tweede schutter in elk paar onder druk komt te staan.
Voor de ongelijke koffiepot is de oplossing elegant: giet een half kopje in de eerste, twee helften in de tweede en dan de laatste helft terug in de eerste. Het resultaat: twee kopjes van gelijke sterkte. Hoewel roeren hetzelfde resultaat oplevert, voegt de wiskundige benadering een bevredigende laag van precisie toe.
De Thue-Morse-reeks laat zien dat eerlijkheid niet altijd intuïtief is. Soms is een beetje 19e-eeuwse wiskunde voldoende om het speelveld gelijk te maken en een eerlijker resultaat te garanderen.
