L’atto apparentemente semplice di dividere le risorse, che si tratti di un caffè mal preparato o di selezionare squadre per un gioco competitivo, spesso porta a risultati ingiusti. Una soluzione sorprendente si trova in una sequenza matematica studiata per la prima volta nel XIX secolo: la sequenza Thue-Morse. Questo modello, originariamente esplorato da matematici come Eugène Prouhet, Axel Thue e Marston Morse, fornisce un metodo per un’allocazione più equa quando un semplice approccio “a turno” non è sufficiente.
Il problema della selezione sequenziale
Considera una tazza di caffè preparato in modo non uniforme, con una maggiore concentrazione sul fondo. Versando in due tazze in sequenza, la prima tazza sarà più debole della seconda. Ciò illustra un problema più ampio: quando si seleziona da un insieme classificato di elementi (giocatori, risorse, ecc.), il primo selezionatore ottiene un vantaggio intrinseco.
In uno scenario di selezione della squadra, se un capitano sceglie per primo tutti i giocatori, lasciando il resto all’altro, emerge un grave squilibrio nella qualità della squadra. Anche l’alternanza delle scelte non risolve completamente questo problema: il primo selezionatore assicura costantemente i giocatori più forti, portando a una distribuzione distorta del talento. In una serie di giocatori classificati da 1 a 10, la prima squadra avrà un totale di 30, mentre la seconda solo 25.
La soluzione Thue-Morse: fare a turno a turno
La sequenza Thue-Morse offre una soluzione introducendo uno schema di turni nidificato. Invece di alternare semplicemente (AB, AB), utilizza una sequenza di ABBA. La prima coppia segue l’ordine standard, ma la seconda lo inverte. La ripetizione di questo schema (ABBA BAAB BAAB ABBA) garantisce una distribuzione più equilibrata.
Applicando questo all’esempio della scelta della squadra, i punteggi finali diventano 27 e 28, un miglioramento significativo rispetto allo squilibrio 30 contro 25. Questo approccio livella il campo di gioco impedendo a un selezionatore di acquisire costantemente gli elementi con il punteggio più alto.
Applicazioni ed equità nel mondo reale
La sequenza Thue-Morse non è solo una curiosità matematica; viene utilizzato in scenari del mondo reale in cui l’equità è fondamentale. I tie-break del tennis utilizzano una versione semplificata (ABBA) in cui i giocatori si alternano al servizio di due punti consecutivi, garantendo la stessa pressione. La FIFA e la UEFA l’hanno addirittura sperimentato ai calci di rigore, aggiungendo pressione al secondo tiratore di ciascuna coppia.
Per la caffettiera irregolare la soluzione è elegante: versare mezza tazzina nella prima, due metà nella seconda, poi l’ultima metà nuovamente nella prima. Il risultato: due tazze di uguale forza. Sebbene l’agitazione ottenga lo stesso risultato, l’approccio matematico aggiunge un soddisfacente livello di precisione.
La sequenza Thue-Morse dimostra che l’equità non è sempre intuitiva. A volte, un po’ di matematica del 19° secolo è tutto ciò che serve per livellare il campo di gioco e garantire un risultato più equo.
