Le simple fait de diviser les ressources – qu’il s’agisse d’un café mal infusé ou de la sélection d’équipes pour un jeu compétitif – conduit souvent à des résultats injustes. Une solution surprenante réside dans une séquence mathématique étudiée pour la première fois au XIXe siècle : la séquence Thue-Morse. Ce modèle, exploré à l’origine par des mathématiciens comme Eugène Prouhet, Axel Thue et Marston Morse, fournit une méthode d’allocation plus équitable lorsqu’une approche simple « à tour de rôle » ne suffit pas.
Le problème de la sélection séquentielle
Prenons l’exemple d’une cafetière infusée de manière inégale, avec une plus forte concentration au fond. En versant dans deux tasses successivement, la première tasse est plus faible que la seconde. Cela illustre un problème plus large : lors de la sélection parmi un ensemble d’éléments classés (joueurs, ressources, etc.), le premier sélecteur obtient un avantage inhérent.
Dans un scénario de sélection d’équipe, si un capitaine choisit d’abord tous les joueurs, laissant le reste à l’autre, un grave déséquilibre dans la qualité de l’équipe apparaît. Même les sélections alternées ne corrigent pas complètement ce problème : le premier sélecteur sécurise systématiquement les joueurs les plus forts, conduisant à une répartition asymétrique des talents. Dans un groupe de joueurs classés de 1 à 10, la première équipe en totalisera 30, tandis que la seconde n’en comptera que 25.
La solution Thue-Morse : à tour de rôle
La séquence Thue-Morse offre une solution en introduisant un modèle de tour de rôle imbriqué. Au lieu de simplement alterner (AB, AB), il utilise une séquence de ABBA. La première paire suit l’ordre standard, mais la seconde l’inverse. La répétition de ce modèle (ABBA BAAB BAAB ABBA) garantit une distribution plus équilibrée.
En appliquant cela à l’exemple de la sélection d’équipe, les scores finaux deviennent 27 et 28, une amélioration significative par rapport au déséquilibre de 30 contre 25. Cette approche uniformise les règles du jeu en empêchant un sélecteur d’acquérir systématiquement les éléments les mieux classés.
Applications du monde réel et équité
La séquence Thue-Morse n’est pas seulement une curiosité mathématique ; il est utilisé dans des scénarios du monde réel où l’équité est primordiale. Les tie-breaks au tennis utilisent une version simplifiée (ABBA) dans laquelle les joueurs alternent en servant deux points consécutifs, assurant une pression égale. La FIFA et l’UEFA l’ont même testé pour les tirs au but, ajoutant ainsi de la pression au deuxième tireur de chaque paire.
Pour la cafetière inégale, la solution est élégante : versez une demi-tasse dans la première, deux moitiés dans la seconde, puis la dernière moitié dans la première. Le résultat : deux tasses de force égale. Même si l’agitation permet d’obtenir le même résultat, l’approche mathématique ajoute une couche de précision satisfaisante.
La séquence Thue-Morse démontre que l’équité n’est pas toujours intuitive. Parfois, un peu de mathématiques du XIXe siècle suffit pour uniformiser les règles du jeu et garantir un résultat plus équitable.
