L’intelligence artificielle modifie rapidement le paysage de la recherche mathématique, permettant même aux amateurs passionnés de s’attaquer à des problèmes non résolus de longue date. Des développements récents montrent que les modèles d’IA, en particulier les grands modèles de langage comme ChatGPT, ont franchi un seuil critique dans le raisonnement mathématique, surprenant les mathématiciens professionnels et laissant entrevoir un changement fondamental dans la manière dont les progrès mathématiques sont réalisés.
L’héritage du problème d’Erdős
Ces progrès se concentrent sur les problèmes posés par le légendaire mathématicien hongrois Paul Erdős. Erdős, prolifique au cours de ses six décennies de carrière, s’est spécialisé dans des questions d’une simplicité trompeuse mais exceptionnellement difficiles dans les domaines de la combinatoire, de la théorie des nombres et d’autres domaines. Plus de 1 000 de ses conjectures non résolues sont restées ouvertes jusqu’à récemment, servant de référence pour l’avancement dans leurs disciplines respectives.
Ces problèmes, bien que élémentaires à énoncer, nécessitent souvent de nouvelles idées pour être résolus. Les mathématiciens ont commencé à soumettre ces défis à des outils d’IA comme ChatGPT, initialement à titre expérimental. Les chercheurs ont observé un changement marqué dans les performances de l’IA depuis octobre, avec des modèles désormais capables d’identifier la littérature pertinente et même de générer des solutions partielles ou entièrement nouvelles.
Des hallucinations aux preuves valables
Thomas Bloom, de l’Université de Manchester, qui tient un catalogue des problèmes d’Erdő, rappelle qu’au début, l’IA avait du mal avec les tâches mathématiques de base. “Avant, ChatGPT inventait des papiers, complètement hallucinants”, raconte-t-il. Cependant, des améliorations récentes lui ont permis de récupérer et d’analyser efficacement les recherches existantes.
L’étudiant de premier cycle Kevin Barreto et le mathématicien amateur Liam Price illustrent ce changement. Ils ont transmis le problème n°728 d’Erdő à ChatGPT-5.2 Pro, qui a produit une preuve considérée comme « assez agréable et sophistiquée ». Ils ont ensuite utilisé Aristote, un outil d’IA créé par Harmonic, pour vérifier la preuve à l’aide de Lean, un langage de programmation mathématique formel. Ce processus de vérification automatisé fait gagner un temps précieux aux chercheurs.
Des gains limités, mais des implications importantes
À la mi-janvier, les outils d’IA avaient entièrement résolu six problèmes d’Erdős, même si cinq se sont révélés plus tard résolus. La seule nouvelle solution vérifiée provenait de Barreto et Price pour le problème n°205. De plus, l’IA a apporté des solutions partielles à sept autres problèmes, dont certains semblent nouveaux.
Le débat se concentre désormais sur la question de savoir si l’IA prouve véritablement de nouvelles idées ou s’il s’agit simplement de redécouvrir des solutions oubliées. Bloom affirme que la capacité de l’IA à traduire les problèmes sous de nouvelles formes et à découvrir des documents obscurs est précieuse. “Je n’aurais pas trouvé beaucoup de ces papiers… Peut-être que personne ne les aurait trouvés bien plus longtemps sans ce genre d’outil”, souligne-t-il.
L’avenir de la recherche mathématique
Même si les progrès actuels se concentrent sur des problèmes relativement simples, les experts s’accordent sur le fait que l’impact de l’IA s’étendra au-delà de simples solutions. Terence Tao, de l’Université de Californie à Los Angeles, suggère que l’IA pourrait permettre une approche plus empirique et à grande échelle des mathématiques.
« Nos ressources sont tellement limitées par l’attention des experts que nous avons que nous n’examinons pas 99 % de tous les problèmes que nous pourrions étudier », explique Tao. L’IA pourrait permettre aux mathématiciens d’étudier des centaines de problèmes, de tester différentes méthodes et d’identifier des domaines prometteurs pour des recherches plus approfondies – ce qui était auparavant impossible en raison des limitations humaines.
Ce changement pourrait démocratiser l’exploration mathématique, permettant aux chercheurs de s’appuyer sur des bases de connaissances plus larges et d’accélérer les découvertes. Les capacités actuelles de l’IA sont encore modestes par rapport aux problèmes ouverts les plus difficiles, mais même ces « pousses vertes » représentent un changement fondamental dans la façon dont les mathématiques sont élaborées.
